\section{Unit 1：矩阵分解}

\begin{frame}{LU分解基础}
    \begin{block}{LU分解定义}
        将矩阵$A$分解为下三角矩阵$L$和上三角矩阵$U$：
        \[ A = LU \]
        其中$L$是单位下三角矩阵，$U$是上三角矩阵。
    \end{block}
    
    \begin{block}{存在性条件}
        \begin{itemize}
            \item 所有顺序主子式不为零
            \item 矩阵非奇异
            \item 可通过选主元保证存在性
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{exampleblock}{3×3矩阵LU分解}
        \[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{bmatrix} \]
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{数值稳定性与选主元}
    \begin{block}{数值稳定性问题}
        \begin{itemize}
            \item 小主元素导致数值不稳定
            \item 舍入误差被放大
            \item 需要选主元技术
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{block}{部分选主元LU分解}
        \[ PA = LU \]
        其中$P$是排列矩阵。
        \begin{itemize}
            \item 选择列中绝对值最大的元素作为主元
            \item 保证$|l_{ij}| \leq 1$
            \item 显著提高数值稳定性
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{alertblock}{完全选主元}
        同时在行和列方向选主元，数值稳定性最好，但计算复杂。
    \end{alertblock}
\end{frame}

\begin{frame}{对称正定矩阵与Cholesky分解}
    \begin{block}{对称正定矩阵性质}
        \begin{itemize}
            \item $A = A^T$（对称性）
            \item $x^TAx > 0$（正定性）
            \item 所有特征值为正实数
            \item 所有顺序主子式为正
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{block}{Cholesky分解}
        \[ A = LL^T \]
        其中$L$是下三角矩阵。
        \begin{itemize}
            \item 计算复杂度：$\frac{1}{3}n^3$
            \item 比LU分解快一倍
            \item 数值稳定性好，无需选主元
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Cholesky分解算法}
    \begin{block}{算法步骤}
        对于$k = 1$到$n$：
        \begin{enumerate}
            \item $l_{kk} = \sqrt{a_{kk} - \sum_{j=1}^{k-1} l_{kj}^2}$
            \item 对于$i = k+1$到$n$：
            \[ l_{ik} = \frac{1}{l_{kk}} \left( a_{ik} - \sum_{j=1}^{k-1} l_{ij}l_{kj} \right) \]
        \end{enumerate}
    \end{block}
    
    \begin{exampleblock}{3×3矩阵Cholesky分解}
        \[ \begin{bmatrix} 4 & 12 & -16 \\ 12 & 37 & -43 \\ -16 & -43 & 98 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 0 \\ -8 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 6 & -8 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \]
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{QR分解与Householder反射}
    \begin{block}{QR分解定义}
        \[ A = QR \]
        其中$Q$是正交矩阵，$R$是上三角矩阵。
        \begin{itemize}
            \item 适用于任何实矩阵
            \item 列满秩时分解唯一
            \item 在最小二乘问题中重要
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{block}{Householder反射}
        \[ H = I - 2\frac{vv^T}{v^Tv} \]
        \begin{itemize}
            \item 对称且正交
            \item 可将向量映射到坐标轴
            \item 是计算QR分解的主要工具
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Gram-Schmidt正交化}
    \begin{block}{经典Gram-Schmidt过程}
        对于$j = 1$到$n$：
        \begin{enumerate}
            \item $v_j = a_j$
            \item 对于$i = 1$到$j-1$：
            \[ v_j = v_j - \frac{\langle v_j, q_i \rangle}{\langle q_i, q_i \rangle} q_i \]
            \item $q_j = \frac{v_j}{\|v_j\|}$
        \end{enumerate}
    \end{block}
    
    \begin{alertblock}{数值稳定性问题}
        经典Gram-Schmidt在数值上不稳定，当向量几乎线性相关时正交性丢失。
    \end{alertblock}
\end{frame}

\begin{frame}{改进的Gram-Schmidt过程}
    \begin{block}{改进算法}
        对于$j = 1$到$n$：
        \begin{enumerate}
            \item $v_j = a_j$
            \item 对于$i = 1$到$j-1$：
            \[ v_j = v_j - \langle v_j, q_i \rangle q_i \]
            \item $q_j = \frac{v_j}{\|v_j\|}$
        \end{enumerate}
    \end{block}
    
    \begin{block}{改进优势}
        \begin{itemize}
            \item 重新组织计算顺序
            \item 数值稳定性显著提高
            \item 实际计算中的首选方法
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{exampleblock}{数值比较}
        经典Gram-Schmidt可能产生$O(\epsilon_{\text{machine}})$的正交性误差，而改进方法为$O(\epsilon_{\text{machine}}^2)$。
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{分块矩阵分解}
    \begin{block}{分块思想}
        将大矩阵划分为小块，提高计算效率：
        \[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \]
    \end{block}
    
    \begin{block}{分块LU分解步骤}
        \begin{enumerate}
            \item 分解$A_{11} = L_{11}U_{11}$
            \item 计算$L_{21} = A_{21}U_{11}^{-1}$
            \item 计算$U_{12} = L_{11}^{-1}A_{12}$
            \item 计算$S = A_{22} - L_{21}U_{12}$
            \item 分解$S = L_{22}U_{22}$
        \end{enumerate}
    \end{block}
    
    \begin{block}{分块优势}
        \begin{itemize}
            \item 提高缓存利用率
            \item 便于并行计算
            \item 减少内存访问开销
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{矩阵分解应用领域}
    \begin{columns}
        \begin{column}{0.5\textwidth}
            \begin{block}{LU分解应用}
                \begin{itemize}
                    \item 线性方程组求解
                    \item 矩阵求逆
                    \item 行列式计算
                    \item 条件数估计
                \end{itemize}
            \end{block}
            
            \begin{block}{Cholesky分解应用}
                \begin{itemize}
                    \item 正定系统求解
                    \item 协方差矩阵处理
                    \item 优化问题
                    \item 随机过程模拟
                \end{itemize}
            \end{block}
        \end{column}
        \begin{column}{0.5\textwidth}
            \begin{block}{QR分解应用}
                \begin{itemize}
                    \item 最小二乘问题
                    \item 特征值计算
                    \item 正交基构造
                    \item 矩阵秩估计
                \end{itemize}
            \end{block}
            
            \begin{block}{分块技术应用}
                \begin{itemize}
                    \item 大规模科学计算
                    \item 图像处理
                    \item 机器学习
                    \item 有限元分析
                \end{itemize}
            \end{block}
        \end{column}
    \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{本章重点总结}
    \begin{block}{核心分解技术}
        \begin{itemize}
            \item LU分解与选主元技术
            \item Cholesky分解（对称正定矩阵）
            \item QR分解与Householder反射
            \item Gram-Schmidt正交化过程
            \item 分块矩阵分解方法
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{block}{数值稳定性要点}
        \begin{itemize}
            \item 选主元保证LU分解稳定性
            \item Cholesky分解天然稳定
            \item 改进的Gram-Schmidt过程
            \item Householder反射的数值优势
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{block}{学习目标}
        \begin{itemize}
            \item 掌握各种矩阵分解的原理
            \item 理解数值稳定性要求
            \item 能够选择适当的分解方法
            \item 为后续应用打下基础
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}